Question

（1）若點(diǎn)A（2，2）在矩陣M=

cosa      -sina sina        cosa

對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B（-2，2），求矩陣M的逆矩陣．
（2）已知矩陣A=

2    1 4    2

，向量

β

=

1 7

，求A⁵⁰

β

．

Answer 1

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣

專(zhuān)題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法，確定矩陣M，再求矩陣的逆矩陣；
（2）根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組解得相應(yīng)的特征向量．利用特征向量表示向量β，后將求A⁵⁰β的值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求有關(guān)特征向量的計(jì)算問(wèn)題．

解答： 解：（1）由題意，

cosa      -sina sina        cosa

2 2

=

-2 2

∴

cosα-sinα=-1 sinα+cosα=1

，
∴

cosα=0 sinα=1

∴M=

0 -1 1 0

，
∵|M|=1≠0，
∴M^-1=

0 1 -1 0

；
（2）解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-2）²-4=0
所以λ₁=0，λ₂=4，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為α₁=

x1 y1

，α₂=

x2 y2

．
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，可得2x₁+y₁=0，2x₂-y₂=0，
所以矩陣M的一個(gè)特征向量為α₁=

1 -2

，α₂=

1 2

．
（2）令β=mα₁+nα₂，則

1 7

=m

1 -2

+n

1 2

，
解得m=-

5

4

，n=

9

4

，
所以M⁵⁰β=M⁵⁰（-

5

4

α₁+

9

4

α₂）
=-

5

4

M⁵⁰α₁+

9

4

M⁵⁰α₂=

450• 9 4 450• 9 2

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的求法，考查矩陣的逆矩陣，考查了特征值與特征向量的計(jì)算以及利用特征向量求向量乘方的問(wèn)題，屬于中檔題．