Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令T_n=

Sn

2n

，當(dāng)n≥3時(shí)，求證：T_n＞T_n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1），兩邊同時(shí)除以n（n+1），得：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，從而得到S_n=n（n+1），由此能求出a_n=2n．
（2）由T_n=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，得到T_n-T_n+1=

n2+n

2n

-

(n+1)2+(n+1)

2n+1

=

(n- 1 2 )2- 9 4

2n+1

，由此能證明當(dāng)n≥3時(shí)，T_n＞T_n+1．

解答： （1）解：∵na_n+1=S_n+n（n+1），a_n+1=S_n+1-S_n，
∴nS_n+1-（n+1）S_n=n（n+1），
兩邊同時(shí)除以n（n+1），得：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1，
∵

S1

1

=

a1

1

=2，
∴{

Sn

n

}為等差數(shù)列，公差d=1，首項(xiàng)2，
∴

Sn

n

=2+n-1=n+1，∴S_n=n（n+1）
∴a_n=S_n-S_n-1=[n（n+1）]-（（n-1）n]=2n，
把n=1代入驗(yàn)證，滿足，∴a_n=2n．
（2）證明：∵T_n=

Sn

2n

=

n2+n

2n

，
∴T_n-T_n+1=

n2+n

2n

-

(n+1)2+(n+1)

2n+1

=

2n2+2n

2n+1

-

n2+3n+2

2n+1

=

n2-n-2

2n+1

=

(n- 1 2 )2- 9 4

2n+1

，
由（n-

1

2

）²-

9

4

≥0，得n≥2．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，T_n＞T_n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意作差法比較大小的合理運(yùn)用．