Question

（2012•武漢模擬）在等差數(shù)列{a_n}中，滿足3a₅=5a₈，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．
（Ⅰ）若a₁＞0，當S_n取得最大值時，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，記b_n=

Sn-an

n

，求b_n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），故d=-

2

23

a₁．由此能求出當S_n取得最大值時n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，故a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．
由此能求出b_n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，則
由3a₅=5a₈，得3（a₁+4d）=5（a₁+7d），∴d=-

2

23

a₁．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

×（-

2

23

a₁）=-

1

23

a₁n²+

24

23

a₁n=-

1

23

a₁（n-12）²+

144

23

a₁．
∵a₁＞0，∴當n=12時，S_n取得最大值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a₁=-46，得d=-

2

23

×（-46）=4，
∴a_n=-46+（n-1）×4=4n-50，
S_n=-46n+

n(n-1)

2

×4=2n²-48n．
∴b_n=

Sn-an

n

=

2n2-52n+50

n

=2n+

50

n

-52≥2

2n× 50 n

-52=-32，
當且僅當2n=

50

n

，即n=5時，等號成立．
故b_n的最小值為-32．…（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．