Question

（2012•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m＞0，求函數(shù)f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）證明：對?n∈N^*，不等式ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)明確的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分類討論，確定函數(shù)f（x）在[m，2m]上的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最大值；
（3）先確定函數(shù)在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

，從而可得x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x，進而可得結(jié)論．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=

1-lnx

x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）；
（2）①當(dāng)0＜2m≤e，即0＜m≤

e

2

時，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

-1；
②當(dāng)m≥e時，由（1）知，函數(shù)f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

-1；
③當(dāng)m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e時，由（1）知，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

當(dāng)且僅當(dāng)x=e時，等號成立
∴?x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x
∵

2+n

n

＞0，

2+n

n

≠e
∴ln

2+n

n

＜

1

e

×

2+n

n

∴ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，正確分類討論．