設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：①f（-1）=f（1）=0；②對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|。
（1）證明：對(duì)任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（2）證明：對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤1-x；
（3）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得若存在請(qǐng)舉一例，若不存在，請(qǐng)說明理由。

解：（1）由題設(shè)條件可知，
當(dāng)時(shí)，有

即。
（2）對(duì)任意的
當(dāng)時(shí)，有
當(dāng)時(shí)，
不妨設(shè)，則
從而有

綜上可知，對(duì)任意的，都有。
（3）這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在
理由如下：假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由
，得

又
所以 ①
又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以
由條件，得

所以 ②
①與②矛盾，因此假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對(duì)?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對(duì)?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T=2的平緩函數(shù)，試證明對(duì)?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y=f（x）的判斷：
①y=f（x）是周期函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③y=f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f(
12
)=0．
其中正確判斷的序號(hào)是
 
．（把你認(rèn)為正確判斷的序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個(gè)條件：
（1）y=f（x）是偶函數(shù)；
（2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個(gè)周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有
3
3
個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=
1+x，x∈[-1，0)
1-x，x∈[0，1]
是否滿足題設(shè)條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f（x），且使得對(duì)任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請(qǐng)舉一例：若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•北京）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件，①f（-1）=f（1）=0，②對(duì)任意的u、v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|
（Ⅰ）證明：對(duì)任意x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x
（Ⅱ）證明：對(duì)任意的u，v∈[-1，1]都有|f（u）-f（v）|≤1
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)y=f（x）且使得
|f(u)-f(v)|＜|u-v|uv∈[0，
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
，1]
；若存在請(qǐng)舉一例，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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