【答案】
分析:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞).因為

,所以f(x)在[1,e]上是增函數(shù),由此能求出f(x)在[1,e]上的最小值.
(Ⅱ)法一:

,設(shè)g(x)=2x
2-2ax+1,則在區(qū)間

上存在子區(qū)間使得不等式g(x)>0成立.由拋物線g(x)=2x
2-2ax+1開口向上,所以只要g(2)>0,或

即可.由此能求出實數(shù)a的取值范圍.
法二:

,則在區(qū)間[

,2]上存在子區(qū)間使不等式2x
2-2ax+1>0成立.因為x>0,所以

.設(shè)g(x)=2x+

,所以2a小于函數(shù)g(x)在區(qū)間[

,2]的最大值.由此能求出實數(shù)a的取值范圍.
(Ⅲ)因為

,令h(x)=2x
2-2ax+1.由a≤0,a>0及判別式△的符號分別進行討論,求解函數(shù)f(x)的極值點.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞).…(1分)
因為

,
所以f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值f(1)=1.
所以f(x)在[1,e]上的最小值為1.…(3分)
(Ⅱ)解法一:

設(shè)g(x)=2x
2-2ax+1,…(4分)
依題意,在區(qū)間

上存在子區(qū)間使得不等式g(x)>0成立.…(5分)
注意到拋物線g(x)=2x
2-2ax+1開口向上,
所以只要g(2)>0,或

即可.…(6分)
由g(2)>0,即8-4a+1>0,得

,
由

,即

,得

,
所以

,
所以實數(shù)a的取值范圍是

.…(8分)
解法二:

,…(4分)
依題意得,在區(qū)間[

,2]上存在子區(qū)間使不等式2x
2-2ax+1>0成立.
又因為x>0,所以

.…(5分)
設(shè)g(x)=2x+

,所以2a小于函數(shù)g(x)在區(qū)間[

,2]的最大值.
又因為

,
由

,解得

;
由

,解得

.
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間

上遞增,在區(qū)間

上遞減.
所以函數(shù)g(x)在

,或x=2處取得最大值.
又

,

,所以

,

所以實數(shù)a的取值范圍是

.…(8分)
(Ⅲ)因為

,令h(x)=2x
2-2ax+1
①顯然,當(dāng)a≤0時,在(0,+∞)上h(x)>0恒成立,
這時f'(x)>0,
此時,函數(shù)f(x)沒有極值點; …(9分)
②當(dāng)a>0時,
(。┊(dāng)△≤0,即

時,
在(0,+∞)上h(x)≥0恒成立,
這時f'(x)≥0,
此時,函數(shù)f(x)沒有極值點; …(10分)
(ⅱ)當(dāng)△>0,即

時,
易知,當(dāng)

時,
h(x)<0,這時f'(x)<0;
當(dāng)

或

時,
h(x)>0,這時f'(x)>0;
所以,當(dāng)

時,

是函數(shù)f(x)的極大值點;

是函數(shù)f(x)的極小值點.…(12分)
綜上,當(dāng)

時,函數(shù)f(x)沒有極值點;
當(dāng)

時,

是函數(shù)f(x)的極大值點;

是函數(shù)f(x)的極小值點.…(13分)
點評:本題考查函數(shù)最小值、實數(shù)取值范圍、函數(shù)極值的求法,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,易錯點是分類不清導(dǎo)致出錯,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,仔細解答,注意分類討論思想的靈活運用.