Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，點O是外心，兩條高 BE，CF交于H點，點M，N分別在線段BH，F(xiàn)H上，且滿足BM=CN，求的值．

Answer 1

【答案】分析：在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，由圓周角定理及∠A=60°可得∠BOC=120°，而由重心的性質，可得∠BHC=120°，進而根據(jù)四點共圓的判定方法，得到B、C、H、O四點共圓，進而可得△BOK≌△COH，根據(jù)正弦定理，我們可得KH=OH，進而根據(jù)MH+NH=MH+KM=KH，即可得到答案．
解答：解：如圖在BE上取BK=CH，連接OB、OC、OK，
由三角形的外心的性質可知：∠BOC=2∠A=120°，
由三角形的垂心性質可知：∠BHC=180°-∠A=120°，
所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四點共圓，∠OBH=∠OCH，…（3分）
又因為OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，
因為∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）
觀察△OKH，有：=，則KH=OH，
又因為BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=OH，
故=．…（8分）
點評：本題考查的知識點是三角形的外心，三角形的垂心，圓內(nèi)接四邊形（四點共圓）的判定與性質，圓周角定理，三角形全等的判定和性質，其中添加恰當?shù)妮o助線構造出全等的三角形，是解答本題的關鍵．本題輔助線添加方法比較困難，解答過程涉及知識點比較多，是平面幾何中的難題．