Question

求直線l:x-y+m=0(m∈R)和曲線y²=2x²+2的交點.

Answer 1

解:解方程組

由①得y=x+m,把y=x+m代入②并整理,得x²-2mx-m²+2=0.�、�

因為方程③的根的判別式Δ=(-2m)²-4(-m²+2)=8(m²-1),

所以(1)當(dāng)Δ＞0,即m＜-1或m＞1時,兩曲線有兩個不同的交點,即和.

(2)當(dāng)Δ=0,即m=±1時,兩曲線的交點重合于點(1,2)或點(-1,-2).

(3)當(dāng)Δ＜0,即-1＜m＜1時,兩曲線無交點.

啟示:直線與二次曲線的交點問題,往往解由直線方程與二次曲線的方程組成的方程組并消去x或y后,得到一個形式上為二次的一元二次方程.這個方程是否為二次方程要看最高次項的系數(shù)是否為0(有時需討論),是二次方程時還要判斷判別式Δ與0的大小及相等關(guān)系.