如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)，使，且P點(diǎn)到A、B 的距離和為定值，求點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（3）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn)，求面積的最大值．

（1）（2）（3）

解析試題分析：（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟，一是設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)M(x, y)，二是列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，三是化簡(jiǎn)，，四是去雜，x≠0；（2）涉及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，往往是通過相關(guān)點(diǎn)法求對(duì)應(yīng)軌跡方程，設(shè)P（x, y），則，代入M的軌跡方程有，利用橢圓定義解出相關(guān)點(diǎn)法也叫轉(zhuǎn)移法，即將未知轉(zhuǎn)移到已知，用未知點(diǎn)坐標(biāo)表示已知點(diǎn)坐標(biāo)，是一種化歸思想，（3）直線與橢圓位置關(guān)系，一般先分析其幾何性，再用代數(shù)進(jìn)行刻畫.本題中的三角形可分解為兩個(gè)同底三角形，底長(zhǎng)都為，所以三角形面積最大值決定于高，即橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，這可結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行列式分析
試題解析：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x, y)(x≠0)，則 
又由AC⊥BD有，即，
∴x2+y2=1（x≠0）.                        （4分）
（2）設(shè)P（x, y），則，代入M的軌跡方程有
即，∴P的軌跡為橢圓（除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)）.
要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點(diǎn)，故.
∴ 從而所求P的軌跡方程為.          9分
（3）易知l的斜率存在，設(shè)方程為聯(lián)立9x2+y2=1，有
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則
令，則且
，
所以當(dāng)，即也即時(shí)，面積取最大值，最大值為．  12分

考點(diǎn)：直接法求軌跡方程，相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，直線與橢圓位置關(guān)系

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓:的離心率,原點(diǎn)到過點(diǎn),的直線的距離是.
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,求 的取值范圍；
（3）如果直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),,且,都在以為圓心的圓上,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄如下：、、、．
（1）經(jīng)判斷點(diǎn)，在拋物線上，試求出的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)并求出橢圓的離心率；
（3）過的焦點(diǎn)直線與橢圓交不同兩點(diǎn)且滿足，試求出直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知命題：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
命題：雙曲線的離心率，若或為真命題，且為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(13分)已知圓O：x2＋y2＝3的半徑等于橢圓E：＝1(a>b>0)的短半軸長(zhǎng)，橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓O內(nèi)，且到直線l：y＝x－的距離為－，點(diǎn)M是直線l與圓O的公共點(diǎn)，設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求橢圓E的方程；
(2)求證：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若．求

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，則△F1MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
(1)求橢圓C2的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)關(guān)系，直線l：x－y＋＝0與以原點(diǎn)為圓心， 以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝4，證明：直線AB過定點(diǎn).

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