已知函數(shù)f(x)=a(x-)-2lnx,g(x)=x2
(I)若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其一公共點處存在公切線,證明:
【答案】分析:(I)求函數(shù)的導數(shù),若函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),則f'(x)≥0恒成立,然后求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)f(x)與g(x)的共切線,然后證明等式.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),函數(shù)的導數(shù)為=
要使函數(shù)f(x)在其定義域上為增函數(shù),f'(x)≥0恒成立,即ax2-2x+a≥0,在(0,+∞)上恒成立.
在(0,+∞)上恒成立.
因為,當且僅當x=1時取等號,所以a≥1.
(Ⅱ)因為函數(shù)的導數(shù)為=,
g'(x)=2x,令,
即2x3-ax2+2x-a=0,所以x2(2x-a)+2x-a=0,即(x2+1)(2x-a)=0,
所以2x-a=0,x=
因為f(x)=a(x-)-2lnx,

對于g(x)=x2.則
因為,所以,即
所以,
,
解得,
所以,成立.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,綜合性較強運算量較大,考查學生的運算能力.
練習冊系列答案
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
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34
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(-∞,-2)
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