【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，為的中點，，.

（1）求二面角的大��；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）取中點，設(shè)相交于，連接，.通過等腰三角形的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)定理，以及正方形的性質(zhì)，證得,由此以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，進而求得二面角的大小.（2）利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值.

（1）取中點，設(shè)相交于，連接，.

因為，所以.

又因為平面平面，且平面，所以平面.

因為平面，所以.

因為是正方形，所以.

如圖建立空間直角坐標系，則，，，

，.

設(shè)平面的法向量為，則，即.

令，則，.于是.

平面的法向量為，所以.

由題知二面角為銳角，所以它的大小為.

（2）由題意知，，.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某省數(shù)學學會為選拔一批學生代表該省參加全國高中數(shù)學聯(lián)賽，在省內(nèi)組織了一次預選賽，該省各校學生均可報名參加.現(xiàn)從所有參賽學生中隨機抽取人的成績進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這名學生中本次預選賽成績優(yōu)秀的男、女生人數(shù)之比為，成績一般的男、女生人數(shù)之比為.已知從這名學生中隨機抽取一名學生，抽到男生的概率是

（1）請將下表補充完整，并判斷是否有的把握認為在本次預選賽中學生的成績優(yōu)秀與性別有關(guān)？

成績優(yōu)秀

成績一般

總計

男生

女生

總計

（2）以樣本估計總體，視樣本頻率為相應事件發(fā)生的概率，從所有本次預選賽成績優(yōu)秀的學生中隨機抽取人代表該省參加全國聯(lián)賽，記抽到的女生人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

參考公式：，其中；

臨界值表供參考：

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【題目】黃河被稱為我國的母親河，它的得名據(jù)說來自于河水的顏色，黃河因攜帶大量泥沙所以河水呈現(xiàn)黃色， 黃河的水源來自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的.只是中游流經(jīng)黃土高原，又有太多攜帶有大量泥沙的河流匯入才造成黃河的河水逐漸變得渾濁.在劉家峽水庫附近，清澈的黃河和攜帶大量泥沙的洮河匯合，在兩條河流的交匯處，水的顏色一清一濁，互不交融，涇渭分明，形成了一條奇特的水中分界線，設(shè)黃河和洮河在汛期的水流量均為2000，黃河水的含沙量為，洮河水的含沙量為，假設(shè)從交匯處開始沿岸設(shè)有若干個觀測點，兩股河水在流經(jīng)相鄰的觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股河水在1秒內(nèi)交換的水量，即從洮河流入黃河的水混合后，又從黃河流入的水到洮河再混合.

（1）求經(jīng)過第二個觀測點時，兩股河水的含沙量；

（2）從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于?（不考慮泥沙沉淀）

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【題目】已知函數(shù)其中為實數(shù).設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩個不同的點.

（1）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的圖象在點，處的切線互相平行，求的最小值；

（3）若函數(shù)的圖象在點，處的切線重合，求的取值范圍.(只要求寫出答案).

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【題目】如圖，在地正西方向的處和正東方向的處各一條正北方向的公路和，現(xiàn)計劃在和路邊各修建一個物流中心和.

（1）若在處看，的視角，在處看測得，求，；

（2）為緩解交通壓力，決定修建兩條互相垂直的公路和，設(shè)，公路的每千米建設(shè)成本為萬元，公路的每千米建設(shè)成本為萬元.為節(jié)省建設(shè)成本，試確定，的位置，使公路的總建設(shè)成本最小.

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【題目】為了調(diào)查民眾對國家實行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過網(wǎng)絡(luò)問卷隨機調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：

年齡

頻數(shù)

10

20

30

20

10

10

支持“新農(nóng)村建設(shè)”

3

11

26

12

6

2

（1）根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為以50歲為分界點對“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異；

年齡低于50歲的人數(shù)

年齡不低于50歲的人數(shù)

合計

支持

不支持

合計

（2）為了進一步推動“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實施，中央電視臺某節(jié)目對此進行了專題報道，并在節(jié)目最后利用隨機撥號的形式在全國范圍內(nèi)選出4名幸運觀眾（假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)），給予適當?shù)莫剟?/span>.若以頻率估計概率，記選出4名幸運觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為，試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

（2）若與相交于兩點，求的面積.

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【題目】如圖，邊長為3的等邊三角形ABC，E，F分別在邊AB，AC上，且，M為BC邊的中點，AM交EF于點O，沿EF將，折到DEF的位置，使．

（1）證明平面EFCB；

（2）試在BC邊上確定一點N，使平面DOC，并求的值．

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