Question

如果實數(shù)x，y滿足x²+y²-4x+1=0，求
①

y

x

最大值；
②y-x的最小值；
③x²+y²的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：由已知條件得

x=2+ 3 cosθ y= 3 sinθ

，θ∈[0，2π）．由此利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出①

y

x

最大值；②y-x的最小值；③x²+y²的最大值．

解答： 解：x²+y²-4x+1=0表示以（2，0）點(diǎn)為圓心，半徑為

3

的圓，
∴

x=2+ 3 cosθ y= 3 sinθ

，θ∈[0，2π）．
①

y

x

=

3 sinθ

2+ 3 cosθ

，為圓上的點(diǎn)M與原點(diǎn)連線的斜率，
分析可得其最大值為

3

；
②y-x=

3

sinθ-

3

cosθ-2
=

6

sin(θ-

π

4

)-2，
∴（y-x）_min=-

6

-2．
③x²+y²=（2+

3

cosθ）²+（

3

sinθ）²
=4

3

cosθ+7，
∴（x²+y²）_max=7+4

3

．

點(diǎn)評：本題考查最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的參數(shù)方程的合理運(yùn)用．