Question

設(shè)向量

m

=（sinA，cosB），

n

=（sinB，cosA），

m

∥

n

，且

m

≠

n

．其中A，B是△ABC的內(nèi)角．
（Ⅰ）求sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）試確定

sinA+sinB

sinAsinB

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先，結(jié)合

m

∥

n

得到sin2A=sin2B，然后，得到即A+B=

π

2

，最后，求解其范圍即可；
（Ⅱ）首先，可以設(shè)sinA+cosA=t∈(1，

2

]，則sinAcosA=

t2-1

2

，然后，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解其范圍．

解答： 解：∵

m

=(sinA，cosB)，

n

=(sinB，cosA)，

m

∥

n

，
∴sinAcosA=sinBcosB，…（2分）
即sin2A=sin2B
又

m

≠

n

，
∴2A+2B=π，即A+B=

π

2

…（4分）
（Ⅰ）sinA+sinB=sinA+sin(

π

2

-A)=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
∴1＜

2

sin(A+

π

4

)≤

2

∴sinA+sinB的取值范圍是 (1，

2

]…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A+B=

π

2

，
∴

sinA+sinB

sinA•sinB

=

sinA+cosA

sinA•cosA

設(shè)sinA+cosA=t∈(1，

2

]，
則t²=1+2sinAcosA，
∴sinAcosA=

t2-1

2

即

sinA+sinB

sinA•sinB

=

sinA+cosA

sinA•cosA

=

t

t2-1 2

，
令f(t)=

t

t2-1 2

，
則f(t)=

2t

t2-1

…（10分）
由定義可證f（t）在(1，

2

]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f(t)≥f(

2

)=2

2

∴

sinA+sinB

sinAsinB

取值范圍為[2

2

，+∞)…（14分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考察了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角公式等知識，屬于中檔題．