Question

如圖，單位正方形區(qū)域OABC在二階矩陣M的作用下變成平行四邊形OAB₁C₁區(qū)域．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求M²，并判斷M²是否存在逆矩陣？若存在，求出它的逆矩陣．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用待定系數(shù)法，先假設(shè)所求的變換矩陣M=，再利用點(diǎn)C（0，1）、A（1，0）分別變換成點(diǎn)C₁（1，1）、A（1，0），可構(gòu)建方程組，從而得解．
（II）先利用矩陣的乘方求出M²，再直接利用求逆矩陣的公式可求即得．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M=，由=，得a=1，c=0，
由=，得b=1，d=1，
∴M=．
（Ⅱ）M²==，
∵|M²|=1≠0，∴M²存在逆矩陣，
M²的逆矩陣為．
點(diǎn)評(píng)：本題以變換為依托，考查矩陣及其逆矩陣，關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法，利用矩陣的乘法公式．