設f（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（1）方程f（x）=0有實數(shù)根；
（2）-2＜
b
a
＜-1；
（3）設x1，x2是方程f（x）=0的兩個實數(shù)根，則
3
3
≤|x1-x2|＜
3
2
．
（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b2-12ac=4（a+c）2-12ac=4[
3
4
a2+(
1
2
a-c)2]＞0
f（x）=3ax2+2bx+c=0有實數(shù)根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴-a2(1+
b
a
)(2+
b
a
)＞0，
∴(1+
b
a
)(2+
b
a
)＜0
解得-2＜
b
a
＜-1----------（9分）
（3）∵x1，x2是方程f（x）=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=-
2b
3a
，x1•x2=
c
3a
=-
a+b
3a

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=
4b2
9a2
-4（-
a+b
3a
）
=
4
9
(
b
a
+
3
2
)2+
1
3

∵-2＜
b
a
＜-1
∴
1
3
＜(x1-x2)2＜
4
9

∴
3
3
≤|x1-x2|＜
2
3
．--------（15分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)f（x）滿足f(0)=1，f(1)=-1，f(
3
2
+x)=f(
3
2
-x)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=-mx的兩根x1和x2滿足x1＜x2＜1，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

二次函數(shù)f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域為[0，+∞），則
a+1
c
+
c+1
a
的最小值為（　　）
A．2B．2+
2
C．4D．2+2
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)y=x2+（a+1）x-1在[-2，2]上單調(diào)，則a的范圍是（　�。�
A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)≤-5C．a(chǎn)≥3或a≤-5D．a(chǎn)＞3或a＜-5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，則f（m+1）的值是（　�。�
A．（-∞，+∞）B．（-∞，0）C．0D．（0，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax2+x-a，a∈R
（1）當a=2時，解不等式f（x）＞1；
（2）若函數(shù)f（x）有最大值
17
8
，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設函數(shù)f（x）=x2+ax+b（x∈R）中a，b∈R，若對于任意的a∈[-3，3]，關于x的不等式f（x）＞1在[-1，1]上恒成立，則b的取值范圍是（　�。�
A．（-∞，2）B．（-∞，3）C．（2，+∞）D．（3，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知，，則________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設二次函數(shù)，若（其中），則等于     _____.

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