Question

設橢圓x²+3y²=3與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M、N，A（0，-1），當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,分類討論,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與橢圓相交可得m²＜3k²+1，及點P的坐標，從而可得AP的斜率，再分類討論，利用|AM|=|AN|，即可求得m的取值范圍．

解答： 解：設P（x_P，y_P）、M（x_M，y_N）、N（x_N，y_N），P為弦MN的中點，
直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直線與橢圓相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①，
∴x_P=-

3mk

1+3k2

，從而y_P=kx_P+m=

m

1+3k2

，
（1）當k≠0時，k_AP=

yP+1

xP

=-

m+1+3k2

3mk

（m=0不滿足題目條件）
∵|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，則-

m+1+3k2

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，由②得k²=

2m-1

3

，解得m＞

1

2

．
故

1

2

＜m＜2．
（2）當k=0時，∵直線y=m是平行于x軸的一條直線，∴-1＜m＜1，
綜上，求得m的取值范圍是-1＜m＜2．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數學思想，聯(lián)立方程是關鍵．