Question

已知向量

m

∥

n

，其中

m

=（

1

x3+c-1

，-1），

n

=（-1，y）（x，y，c∈R），把其中x，y所滿足的關(guān)系式記為y=f（x），若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對(duì)于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項(xiàng)和”等于S_n²，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式；
（3）設(shè)數(shù)列{

1

anan+2

}的前n項(xiàng)和為S_n，不等式S_n＞

1

3

log_a（1-a）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量平行得出函數(shù)y=f（x），再利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可求c=1，從而可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)條件對(duì)于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項(xiàng)和等于S_n²，寫(xiě)出兩等式，兩式相減可得{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由（2）知a_n=n，利用裂項(xiàng)法可求

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），從而可求得S_n=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．由S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，可判斷數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，從而可求得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（

1

x3+c-1

，-1），

n

=（-1，y），向量

m

∥

n

，
∴

y

x3+c-1

=1，即有y=x³+c-1，
由于函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．則c=1，
則f（x）=x³（x≠0）；
（2）由題意可知，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=S_n²⇒a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²…①
n≥2時(shí)∴a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²…②
由①-②可得：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（S_n+S_n-1），
∵{a_n}為正數(shù)數(shù)列∴a_n²=S_n+S_n-1…③∴a_n+1²=S_n+1+S_n…④，
由④-③可得：a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，
且由①可得a₁³=a₁²，a₁＞0⇒a₁=1，a₁³+a₂³=S₂²，a₂＞0⇒a₂=2，
∴a₂-a₁=1∴{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=n（n∈N^*）；
（3）由（2）知a_n=n，則

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴S_n=

1

a1a3

+

1

a2a4

+

1

a3a5

+…+

1

an-1an+1

+

1

anan+2

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．
∵S_n+1-S_n=

1

(n+1)(n+3)

＞0，
∴數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，
∴（S_n）_min=S₁=

1

3

．
要使不等式S_n＞

1

3

log_a（1-a）對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
只要

1

3

＞

1

3

log_a（1-a）．
∵1-a＞0，∴0＜a＜1．
∴1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的共線的坐標(biāo)表示和函數(shù)的奇偶性和運(yùn)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查裂項(xiàng)相消求和的方法，考查不等式的恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值問(wèn)題，同時(shí)考查對(duì)數(shù)不等式的解法，具有綜合性和一定難度．