【題目】從拋物線上任意一點向軸作垂線段垂足為,點是線段上的一點,且滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設直線與軌跡交于兩點,點為軌跡上異于的任意一點,直線分別與直線交于兩點.問:軸正半軸上是否存在定點使得以為直徑的圓過該定點?若存在,求出符合條件的定點坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在定點,理由詳見解析.
【解析】
(1)設點,利用關系,將點坐標表示為形式,代入拋物線方程,即可求解;
(2)將直線與軌跡方程聯(lián)立,消去得到關于的一元二次方程,由根與系數(shù)關系,建立縱坐標關系,設點坐標,求出直線方程,進而求出坐標,先求出為原點時, 為直徑的圓過軸正半軸上定點,而后證明為曲線不同于任意點時,判定該定點是否在以為直徑的圓上,即可求出結論.
(1)設,則,
在拋物線上,
為曲線的方程;
(2)設,
聯(lián)立,消去,
,
直線的斜率為,
直線方程為,
令,
所以,同理,
令中點坐標為,
,
以為直徑的圓方程為,
令或(舍去)
當為坐標原點是以為直徑的圓過定點,
當不過原點時,,
,
,以為直徑的圓過點,
軸正半軸上存在定點使得以為直徑的圓過該定點
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校高三共有1000位學生,為了分析某次的數(shù)學考試成績,采取隨機抽樣的方法抽取了50位高三學生的成績進行統(tǒng)計分析,得到如圖所示頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 18 | 12 | 6 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算成績在的頻率并計算這組數(shù)據(jù)的平均值(同組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替);
(2)用分層抽樣的方法從成績在和的學生中共抽取5人,從這5人中任取2人,求成績在和中各有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學有位學生申請、、三所大學的自主招生.若每位學生只能申請其中一所大學,且申請其中任何一所大學是等可能的.
(1)求恰有人申請大學的概率;
(2)求被申請大學的個數(shù)的概率分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左,右焦點,,上頂點為,,為橢圓上任意一點,且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若點.為橢圓上的兩個不同的動點,且(為坐標原點),則是否存在常數(shù),使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,為坐標原點.定義點的“友好點”為:,現(xiàn)有下列命題:
①若點的“友好點”是點,則點的“友好點”一定是點.
②單位圓上的點的“友好點”一定在單位圓上.
③若點的“友好點”還是點,則點一定在單位圓上.
④對任意點,它的“友好點”是點,則 的取值集合是 .
其中的真命題是_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中.直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中.曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C關于直線l對稱,求a的值;
(2)若A、B為曲線C上兩點.且∠AOB,求|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓()的離心率是,點在短軸上,且。
(1)球橢圓的方程;
(2)設為坐標原點,過點的動直線與橢圓交于兩點。是否存在常數(shù),使得為定值?若存在,求的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n+1﹣2,數(shù)列{bn}是首項為a1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,且b1,b3,b11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設cn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,PA=PD=AD=2,BC=1,.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若M是棱PC上的一點,且滿足,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
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