【題目】從拋物線上任意一點軸作垂線段垂足為,點是線段上的一點,且滿足.

1)求點的軌跡的方程;

2)設直線與軌跡交于兩點,點為軌跡上異于的任意一點,直線分別與直線交于兩點.問:軸正半軸上是否存在定點使得以為直徑的圓過該定點?若存在,求出符合條件的定點坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)存在定點,理由詳見解析.

【解析】

1)設點,利用關系,將點坐標表示為形式,代入拋物線方程,即可求解;

2)將直線與軌跡方程聯(lián)立,消去得到關于的一元二次方程,由根與系數(shù)關系,建立縱坐標關系,設點坐標,求出直線方程,進而求出坐標,先求出為原點時, 為直徑的圓過軸正半軸上定點,而后證明為曲線不同于任意點時,判定該定點是否在以為直徑的圓上,即可求出結論.

1)設,則,

在拋物線上,

為曲線的方程;

(2)設,

聯(lián)立,消去,

直線的斜率為,

直線方程為

,

所以,同理

中點坐標為,

為直徑的圓方程為,

(舍去)

為坐標原點是以為直徑的圓過定點,

不過原點時,

,

,以為直徑的圓過點,

軸正半軸上存在定點使得以為直徑的圓過該定點

練習冊系列答案
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分組

頻數(shù)

3

11

18

12

6

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