Question

已知點A、B的坐標分別是（-1，0），（1，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為m（m≤-1），記點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程，并判斷曲線C為何種曲線；
（2）若曲線C經(jīng)過點（

2

2

，1）．
①當點M在曲線C上運動時，求

MA

•

MB

+

MA

2的取值范圍；
②過點D（2，0）的直線L與曲線C交于不同的兩點E、F（E在D、F之間），求△ODE與△ODF（其中O是直角坐標系的坐標原點）面積之比的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y）；則k_AM=

y-0

x+1

，k_MB=

y-0

x-1

；則有

y-0

x+1

•

y-0

x-1

=m；討論m確定曲線的形狀及方程；
（2）代入求得曲線方程為

y2

2

+x²=1，
①從而設(shè)設(shè)M（cosa，

2

sina）；表示出向量

MA

=（cosa+1，

2

sina），

MB

=（cosa-1，

2

sina）；從而求其取值范圍；
②設(shè)直線L的方程為x=my+2；與橢圓

y2

2

+x²=1聯(lián)立消x得，（2m²+1）y²+8my+6=0；從而求出m²＞

3

2

；再由圖象可知，△ODE與△ODF（其中O是直角坐標系的坐標原點）面積之比為E，F(xiàn)兩個的縱坐標的絕對值之比，故求解方程（2m²+1）y²+8my+6=0；從而得到比值

-8m- 16m2-24

-8m+ 16m2-24

，分離常數(shù)法求其取值范圍即可．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y）；則
k_AM=

y-0

x+1

，k_MB=

y-0

x-1

；
則由題意可得，

y-0

x+1

•

y-0

x-1

=m；
故y²=m（x²-1）；
若m=-1，則可化為y²+x²=1；
表示了以原點為圓心，1為半徑的圓（除A，B點）；
若m＜-1；則

y2

-m

+x²=1；
表示了焦點在y軸，以A、B為短軸端點的橢圓（除A，B點）；
（2）由題意，

1

-m

+

1

2

=1；
故m=-2；
故C：

y2

2

+x²=1；
①設(shè)M（cosa，

2

sina）；
則

MA

=（cosa+1，

2

sina），

MB

=（cosa-1，

2

sina）；

MA

•

MB

+

MA

2=（cosa+1，

2

sina）•（2cosa，2

2

sina）
=2cos²a+2cosa+4sin²a
=-2cos²a+2cosa+4；
故-2-2+4≤

MA

•

MB

+

MA

2≤

9

2

；
即0≤

MA

•

MB

+

MA

2≤

9

2

；
②設(shè)直線L的方程為x=my+2；
與橢圓

y2

2

+x²=1聯(lián)立消x得，
（2m²+1）y²+8my+6=0；
故△=64m²-4×6×（2m²+1）＞0，
解得，m²＞

3

2

；
y=

-8m± 16m2-24

2m2+1

；不妨設(shè)m＜0；
故△ODE與△ODF（其中O是直角坐標系的坐標原點）面積之比為

-8m- 16m2-24 2m2+1

-8m+ 16m2-24 2m2+1

=

-8m- 16m2-24

-8m+ 16m2-24

=-1+

-16m

-8m+ 16m2-24

=-1+

16

8+ 16- 24 m2

；
∵m²＞

3

2

，
∴0＜

16- 24 m2

＜4；
故8＜8+

16- 24 m2

＜12；
故

4

3

＜

16

8+ 16- 24 m2

＜2；
故

1

3

＜-1+

16

8+ 16- 24 m2

＜1；
故△ODE與△ODF（其中O是直角坐標系的坐標原點）面積之比的取值范圍為（

1

3

，1）．

點評：本題考查了圓錐曲線中的最值問題及取值范圍問題，屬于難題．