Question

給定拋物線C：y²=4x，過點A（-1，0）的斜率為k的直線與C相交于M，N兩點．
（1）MN的中點在直線x=3上，求k的值；
（2）折

AM

=λ

AN

，k∈[

2

2

，

6

3

]，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直線MN的方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與拋物線方程聯(lián)立k²x²+（2k²-4）x+k²=0，k≠0．利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式即可得出．
（2）利用

AM

=λ

AN

，可得x₁+1=λ（x₂+1），利用根與系數(shù)的關系可得x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1聯(lián)立．化為k2=

4λ

(1+λ)2

，利用k∈[

2

2

，

6

3

]，即可得出．

解答： 解：（1）直線MN的方程為：y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x+1) y2=4x

，化為k²x²+（2k²-4）x+k²=0，k≠0．
∴x₁+x₂=

4-2k2

k2

=2×3，x₁x₂=1．
解得k=±

2

2

．
（2）∵

AM

=λ

AN

，x₁+1=λ（x₂+1），
與x₁+x₂=

4-2k2

k2

，x₁x₂=1聯(lián)立．
可得k2=

4λ

(1+λ)2

，
∵k∈[

2

2

，

6

3

]，
∴

1

2

≤

4λ

(1+λ)2

≤

2

3

，
解得λ∈[3-2

2

，2-

3

]∪[2+

3

，3+2

2

]．
∴λ的取值范圍是[3-2

2

，2-

3

]∪[2+

3

，3+2

2

]．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、向量運算、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．