Question

已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍；

（3）若對(duì)任意的，均有，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1），；（2）或；（3）.

【解析】

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.（1）先求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到導(dǎo)數(shù)中，得到切線的斜率，結(jié)合已知切線的斜率可求出的值，再由切點(diǎn)在切線上，可求出即切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后代入的解析式即可求出的值；（2）先將代入得到解析式，求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719583415008632/SYS201411171958414472739548_DA/SYS201411171958414472739548_DA.011.png">在有唯一的零點(diǎn)，所以或，所以解得或；（3）屬于恒成立問(wèn)題，通過(guò)分析題意，可以轉(zhuǎn)化為在上的最大值與最小值之差，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719583415008632/SYS201411171958414472739548_DA/SYS201411171958414472739548_DA.020.png">，所以討論的正負(fù)來(lái)判斷的正負(fù)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，需列表判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值來(lái)決定最值的位置，這種情況中還需要討論與1的大小.

試題解析：(1)，所以，得

又，所以，得

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719583415008632/SYS201411171958414472739548_DA/SYS201411171958414472739548_DA.032.png">所以，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又，可知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)等價(jià)于

或

得或

(3)若對(duì)任意的，均有，等價(jià)于在上的最大值與最小值之差

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上，在上單調(diào)遞增

由，得

所以

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得

由得或

所以，同理

當(dāng)，即時(shí)，，與題設(shè)矛盾

當(dāng)，即時(shí)，恒成立

當(dāng)，即時(shí)，恒成立

綜上所述，的取值范圍為.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在切線上的應(yīng)用；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；4.分類討論的思想.