Question

已知函數(shù)，.
（Ⅰ）若與在處相切，試求的表達(dá)式；
（Ⅱ）若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明不等式：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）見解析

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用與在處相切，可求的表達(dá)式；（Ⅱ） 在上是減函數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)小于等于 在上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式，可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時(shí)，證明 ，當(dāng)x＞1時(shí)，證明 ，利用疊加法，即可得到結(jié)論．
試題解析：解：（Ⅰ）由已知 且  得：     2分
又            3分
（Ⅱ）在上是減函數(shù)，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
   得            6分
（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：當(dāng)時(shí)：
 得：        8分
當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)： 當(dāng)時(shí)：
當(dāng)時(shí)：，
上述不等式相加得：
即：     ①         9分
由（Ⅱ）可得：當(dāng)時(shí)：在上是減函數(shù)
當(dāng)時(shí)： 即
所以 從而得到：          11分
當(dāng)時(shí)：  當(dāng)時(shí)：  當(dāng)時(shí)：
當(dāng)時(shí)：，
上述不等式相加得：

即  ②
綜上：（）       12分