Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，求證：函數(shù)有2個不同的零點；

（3）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）極小值為；無極大值（2）證明過程見解析；（3）.

【解析】

（1）對函數(shù)求導，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用極值定義求出函數(shù)的極值；

（2）利用導數(shù)可求出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，然后分類討論在不同單調(diào)區(qū)間上函數(shù)存在零點，最后能證明出函數(shù)有2個不同的零點；

（3）構造新函數(shù)，利用導數(shù)，求出的值域，然后能求出實數(shù)的最大值.

（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，

當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此是函數(shù)的極小值，故函數(shù)的極值為極小值，值為；無極大值

（2）函數(shù)的定義域為，因為所以，

因為，所以當時，，因此函數(shù)是遞減函數(shù)，當時，，函數(shù)是遞增函數(shù)，

所以函數(shù)的最大值為： ，

因為，所以，因此有，

因為，所以，因此當時，函數(shù)有唯一零點；

因為，所以，，故函數(shù)在時，必有唯一的零點，因此函數(shù)有2個不同的零點；

（3）設，，

，因為，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，即

當時，即，時，，函數(shù)在時單調(diào)遞增，因此有，即當時，恒成立；

當時，所以存在，使得，即當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以此時，顯然對于當時，不恒成立，綜上所述，，所以實數(shù)的最大值為.