Question

（2010•江西模擬）三棱錐P-ABC的高|PO|=2

2

，底面邊長分別為3，4，5，Q點在底邊上，且斜高PQ的數(shù)值為3，這樣的Q點最多有（　�。�

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：先證明底面三角形為直角三角形，且內(nèi)切圓半徑為1，再證明點P與三個切點的連線即為側(cè)面斜高，由已知數(shù)據(jù)計算三個斜高均為3，即符合條件的點Q恰為這三個切點

解答：解：如圖∵|AC|=3，|BC|=4，|AB|=5
∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°
設(shè)此三角形的內(nèi)切圓半徑為r，
則由△ACB的面積等于△OAB，△OAC，△OBC的面積之和得

1

2

×3×4=

1

2

(3+4+5)×r
∴r=1
設(shè)切點為D、E、F
則由三垂線定理知：PD、PE、PF分別為三棱錐三個側(cè)面的斜高
∵在直角三角形POD中，|PO|=2

2

，|OD|=1
∴|PD|=

12+2 2 2

=3
同理|PE|=3，|PF|=3
∴Q點在底邊上，且斜高PQ的數(shù)值為3，這樣的Q點最多有3個，分別位于D、E、F的位置
故選B

點評：本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直角三角形的特殊性質(zhì)，椎體的高與斜高的關(guān)系和計算方法，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法