Question

已知數(shù)列{a_n}中，，a_n+1-a_n=（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}中的最大項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先當(dāng)n=1時(shí)，a₂-a₁=＞0，可知a₂＞a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=＜0，可得a_n+1＜a_n．因此當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，因而可知數(shù)列{a_n}中最大項(xiàng)為a₂．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，可知a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1），代入各項(xiàng)的值，根據(jù)式子的特征設(shè)置ka_n代入各項(xiàng)值，兩式相減即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再檢查當(dāng)n=1時(shí)，通項(xiàng)式是否符合，若不符合，則分情況，若符合，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₂-a₁=＞0．
∴a₂＞a₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=＜0，
∴a_n+1＜a_n．
故當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．
綜上所述，對(duì)一切n∈N^*都有a₂≥a_n．
∴數(shù)列{a_n}中最大項(xiàng)為a₂．
（2）由，a_n+1-a_n=（n∈N^*），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-1-a_n-2）+（a_n-a_n-1）=，①，②
①-②，得，
∴．
又n=1時(shí)，a₁=適合上式，
∴（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考根據(jù)數(shù)列的公式判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，是基礎(chǔ)題．