Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求的最小值及取得最小值時的取值范圍；

（Ⅱ）若集合，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】試題分析: （Ⅰ）利用絕對值三角不等式,求得的最小值,以及取得最小值時x的取值范圍; （Ⅱ）當(dāng)集合,函數(shù)恒成立,即的圖象恒位于直線的上方,數(shù)形結(jié)合求得a的取值范圍.

試題解析:解：（Ⅰ）∵ 函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時

函數(shù)的最小值為．

（Ⅱ）函數(shù)

而函數(shù)表示過點，斜率為的一條直線，

如圖所示：當(dāng)直線過點時， ，∴，

當(dāng)直線過點時， ，∴，

故當(dāng)集合，函數(shù)恒成立，

即的圖象恒位于直線的上方，

數(shù)形結(jié)合可得要求的的范圍為．

點睛: 兩數(shù)和差的絕對值的性質(zhì): ,特別注意此式，它是和差的絕對值與絕對值的和差性質(zhì)，應(yīng)用此式來求某些函數(shù)的最值時一定要注意等號成立的條件.恒成立問題的解決方法:(1)f(x)<m恒成立，須有[f(x)]max<m；(2)f(x)>m恒成立，須有[f(x)]min>m；(3)不等式的解集為R，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為，即不等式無解．