Question

四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=

1

2

AD=1，∠BAD=60°，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAB
（2）求證：EF⊥面PBD
（3）求三棱錐B-CDF的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，利用已知條件證明AEFG平行四邊形，即可求證EF∥面PAB；
（2）利用已知條件通過(guò)直線與平面垂直的判定定理證明AG⊥面PBD，利用EF∥AG，證明EF⊥面PBD
（3）取AB中點(diǎn)M，連接PM，證明F到平面ABCD的距離h等于PM的一半，即可求出三棱錐B-CDF的體積．

解答： （1）證明：取PB中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G
又F分別為PC的中點(diǎn)．∴GF是△PBC的中位線，即GF∥BC，GF=

1

2

BC
又四邊形ABCD底面是平行四邊形，E分別為AB的中點(diǎn)，
∴AE∥BC，AE=

1

2

BC，
∴GF∥AE，GF=AE
∴四邊形AEFG是平行四邊形
∴EF∥AG，
又AG?平面PAB
∴EF∥平面PAB；
（2）證明：∵△PAB是等邊三角形，AG⊥PB①
△ABD中，AD=2AB，∠BAD=60°，∴BD⊥AB，
∵面PAB⊥面ABCD，BD⊥AB，
∴DB⊥面PAB，∴DB⊥AG②
由 ①②可知，AG⊥PB，AG⊥BD，
∴AG⊥面PBD，
又EF∥AG，∴EF⊥面PBD；
（3）解：取AB中點(diǎn)M，連接PM，則
∵△PAB是等邊三角形，
∴PM⊥AB，
∵面PAB⊥面ABCD，
∴PM⊥面ABCD，
∵F分別為PC的中點(diǎn)，
∴F到平面ABCD的距離h等于PM的一半，
∴h=

1

2

PM=

1

2

•

3

2

•1=

3

4

，
∴V_B-CDF=V_F-BCD=

1

3

S△BCDh=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體中直線與平面平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，三棱錐體積的計(jì)算，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力．