Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=1-

1

4an

，其中n∈N^*
（1）設b_n=

2

2an-1

，求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）若c_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2 bn是否存在λ，使得對任意n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n，若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）證明：：對一切正整數n，有

1

b1(b1+1)

+

1

b2(b2+1)

+…+

1

bn(bn+1)

＜

13

42

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定,數列遞推式

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）利用等差數列的定義判斷；（2）由c_n+1＞c_n，得到λ的不等式，注意對n的奇偶性討論，得到n的范圍；（3）裂項求和即可．

解答： 解：（1）證明：b_n+1-b_n=b_n=

2

2an+1-1

-

2

2an-1

=

2

2(1- 1 4an )-1

-

2

2an-1

=

4an

2an-1

-

2

2an-1

=2
所以數列{b_n}是等差數列，a₁=1，b₁=2，因此b_n=2n．…（4分）
（2）c_n=6ⁿ+（-1）^n-1λ•2 bn=6ⁿ+（-1）^n-1λ•4ⁿ，由c_n+1＞c_n恒成立，則
6ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•4^n+1_＞6ⁿ+（-1）^n-1λ•4ⁿ⇒6ⁿ+（-1）ⁿλ•4^n_＞0
當n為偶數時，λ＞-

6n

4n

=-(

3

2

)n，∴λ＞[-(

3

2

)n]_max=-

9

4

當n為奇數時，λ＜=

6n

4n

=(

3

2

)n，∴λ＜[(

3

2

)n]_min=

3

2

    綜上λ∈（-

9

4

，

3

2

）..…（9分）
（3）由（1）

1

bn(bn+1)

=

1

2n(2n+1)

=

4

16n2+8n

＜

4

16n2+8n-3

=

4

(4n-1)(4n+3)

=

1

4n-1

-

1

4n+3

（n≥2）．
．
∴

1

b1(b1+1)

+

1

b2(b2+1)

+…+

1

bn(bn+1)

＜

1

6

+（

1

7

-

1

11

+

1

11

-

1

15

+…+

1

4n-1

-

1

4n+1

）=

13

42

-

1

4n+3

＜

13

42

．

點評：本題主要考查了等差數列的判斷，數列的求和數列遞推關系的綜合應用，試題的綜合性較強，屬于中檔題．