在雙曲線
y2
12
-
x2
13
=1的一支上不同的三點A（x1，y1）、B（
26
，6）、C（x2，y2）與焦點F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y1+y2；
（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求該定點的坐標(biāo)．
分析：（1）由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey1-2
3
，|BF|=6e-2
3
，|CF|=ey2-2
3
，再由|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，可求出y1+y2的值．
（2）借助點差法求出AC的垂直平分線方程為y-6=-
13x
x1+x2
+
13
2
，由此可以得到不論-
13
x1+x2
為何值，直線恒過定點(0，
25
2
)．
解答：解：（1）由題設(shè)知，A、B、C在雙曲線的同一支上，且y1，y2均大于0，
∴由雙曲線的焦半徑公式可知|AF|=ey1-2
3
，|BF|=6e-2
3
，|CF|=ey2-2
3
，
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差數(shù)列，∴6e=
ey1+ey2
2
，
∴y1+y2=12．
（2）證明：∵A，C在雙曲線上，∴
y
2
1
12
-
x
2
1
13
=1，且
y
2
2
12
-
x
2
2
13
=1．兩式相減得
y1-y2
x1-x2
=
12
13
•
x1+x2
y1 +y2
=
x1+x2
13
，
于是AC的垂直平分線方程為y-6=-
13
x1+x2
(x-
x1+x2
2
)，即y-6=-
13x
x1+x2
+
13
2
，
∴y=-
13x
x1+x2
+
25
2
．
∴不論-
13
x1+x2
為何值，直線恒過定點(0，
25
2
)．
點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其運用，解題時要注意點差法的合理應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線E：
x2
24
-
y2
12
=1的左焦點為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，設(shè)G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有
|GF|
|GP|
=
1
2
？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•安慶三模）已知焦點在x軸上的橢圓C1：
x2
a2
+
y2
12
=1和雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標(biāo)為（
4
10
5
，
6
5
5
），設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）．
（1）試求橢圓C1和雙曲線C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與橢圓C1交于不同兩點A、B，與雙曲線C2交于不同兩點C、D，問是否存在直線l，使得向量
AC
+
BD
=
0
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，則點P到x軸的距離等于
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線E：
x2
24
-
y2
12
=1的左焦點為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，設(shè)G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有
|GF|
|GP|
=
1
2
？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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