Question

已知雙曲線E：

x2

24

-

y2

12

=1的左焦點(diǎn)為F，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有

|GF|

|GP|

=

1

2

？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，確定圓心坐標(biāo)，又圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可求圓的半徑，從而可求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出G（-5，y_G）代入圓C的方程求出y_G，進(jìn)而求出FG的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離，再利用勾股定理即可求出弦長(zhǎng)的一半進(jìn)而可求解；
（Ⅲ）假設(shè)存在P（s，t），G（x₀，y₀），利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)，結(jié)合G在圓C上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線E：

x2

24

-

y2

12

=1，得l：x=-4，C（-4，0），F(xiàn)（-6，0）．…（2分）
又圓C過(guò)原點(diǎn)，所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16．   …（4分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得yG=±

15

，…（5分）
所以FG的斜率為k=±

15

，F(xiàn)G的方程為y=±

15

(x+6)．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距離為d=

15

2

，…（7分）
直線FG被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

16-( 15 2 )2

=7…（9分）
（Ⅲ）設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由

|GF|

|GP|

=

1

2

，得

(x0+6)2+ y 2 0

(x0-s)2+(y0-t)2

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①…（11分）
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．…（13分）
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點(diǎn)可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（-12，0）．  …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是假設(shè)存在，建立等式，利用恒成立的條件．