已知雙曲線E：
x2
24
-
y2
12
=1的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有
|GF|
|GP|
=
1
2
？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）由雙曲線E：
x2
24
-
y2
12
=1，得l：x=-4，C（-4，0），F(xiàn)（-6，0）．…（2分）
又圓C過原點，所以圓C的方程為（x+4）2+y2=16．   …（4分）
（Ⅱ）由題意，設G（-5，yG），代入（x+4）2+y2=16，得yG=±
15
，…（5分）
所以FG的斜率為k=±
15
，F(xiàn)G的方程為y=±
15
(x+6)．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距離為d=
15
2
，…（7分）
直線FG被圓C截得的弦長為2
16-(
15
2
)2
=7…（9分）
（Ⅲ）設P（s，t），G（x0，y0），則由
|GF|
|GP|
=
1
2
，得
(x0+6)2+
y20
(x0-s)2+(y0-t)2
1
2

整理得3（x02+y02）+（48+2s）x0+2ty0+144-s2-t2=0．①…（11分）
又G（x0，y0）在圓C：（x+4）2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0   ②
②代入①，得（2s+24）x0+2ty0+144-s2-t2=0．…（13分）
又由G（x0，y0）為圓C上任意一點可知，
2s+24=0
2t=0
144-s2-t2=0
…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定點P，其坐標為（-12，0）．  …（16分）
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x22
-y2=1的左、右頂點分別為A1，A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
2
-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點M的坐標為（0，1）．設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點．記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍；
（3）已知點D，E，M的坐標分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內的點．記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x22
-y2=1的左、右頂點分別為A1、A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點．求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x22
-y2=1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，P為動點，若PF1+PF2=4．
（Ⅰ）求動點P的軌跡E方程；
（Ⅱ）若A1（-2，0），A2（2，0），M（1，0），設直線l過點M，且與軌跡E交于R、Q兩點，直線A1R與A2Q交于點S．試問：當直線l在變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條定直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
2
-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點M的坐標為（0，1）．設P是雙曲線C上的點，Q是點P關于原點的對稱點．記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍；
（3）已知點D，E，M的坐標分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內的點．記l為經(jīng)過原點與點P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

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