【題目】已知函數(shù)f(x)= ,直線y= x(a≠0)為曲線y=f(x)的一條切線.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數(shù)h(x)=g(x)﹣bx2為增函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)切點坐標為(x0,y0),f′(x)= ,則 ,∴a=1;
(2)解:記F(x)=f(x)﹣(x﹣ ),x>0.下面考察y=F(x)的符號.
求導(dǎo)F′(x)= ﹣1﹣ ,
x≥2,F(xiàn)′(x)<0,0<x<2,x(2﹣x)≤1,∴F′(x)= ﹣1﹣ ≤﹣ <0,
∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∵F(1)= >0,F(xiàn)(2)= ﹣ <0,
∴F(x)在[1,2]上有唯一零點x0,
∴g(x)= ,
∴h(x)=g(x)﹣bx2= ,
x>x0,h′(x)= ﹣2bx≥0恒成立,∴2b≤ ,
設(shè)u(x)= ,u′(x)= ,函數(shù)在(x0,3)上單調(diào)遞減,(3,+∞)上單調(diào)遞增,
∴u(x)min=﹣ ,∴2b≤﹣ ,∴b≤﹣ ;
0<x≤x0時,h′(x)=1+ ﹣2bx,b≤0,h′(x)>0在(0,x0)上恒成立,
綜上所述,b≤﹣ 時,函數(shù)h(x)=g(x)﹣bx2為增函數(shù).
【解析】(1)根據(jù)直線y= x(a≠0)為曲線y=f(x)的一條切線,求實數(shù)a的值;(2)記F(x)=f(x)﹣(x﹣ ),x>0.考察y=F(x)的符號,得出g(x)= ,再分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負,即可得出結(jié)論.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,直線PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC=2AB=2AD=4BE=4.
(1)求證:直線DE⊥平面PAC.
(2)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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【題目】已知點A(0,0),若函數(shù)f(x)的圖象上存在兩點B、C到點A的距離相等,則稱該函數(shù)f(x)為“點距函數(shù)”,給定下列三個函數(shù):①y=﹣x+2;② ;③y=x+1.其中,“點距函數(shù)”的個數(shù)是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,D為BC的中點,∠BAD+∠C≥90°. (Ⅰ)求證:sin2C≤sin2B;
(Ⅱ)若cos∠BAD=﹣ ,AB=2,AD=3,求AC.
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【題目】17世紀日本數(shù)學(xué)家們對這個數(shù)學(xué)關(guān)于體積方法的問題還不了解,他們將體積公式“V=kD3”中的常數(shù)k稱為“立圓術(shù)”或“玉積率”,創(chuàng)用了求“玉積率”的獨特方法“會玉術(shù)”,其中,D為直徑,類似地,對于等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱叫做等邊圓柱)、正方體也有類似的體積公式V=kD3 , 其中,在等邊圓柱中,D表示底面圓的直徑;在正方體中,D表示棱長,假設(shè)運用此“會玉術(shù)”,求得的球、等邊圓柱、正方體的“玉積率”分別為k1 , k2 , k3=( )
A. : :1
B. : :2
C.1:3:
D.1: :
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【題目】在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一點,且 =5,則| |等于( )
A.2
B.4
C.6
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC= ,點E在AD上,且AE=2ED. (Ⅰ)已知點F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC;
(Ⅱ)當二面角A﹣PB﹣E的余弦值為多少時,直線PC與平面PAB所成的角為45°?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x,y滿足: ,若目標函數(shù)z=ax+y取最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)多個,則實數(shù)a的值是( )
A.0
B.﹣1
C.±1
D.1
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n(n∈N*)項和為Sn , a3=3,且λSn=anan+1 , 在等比數(shù)列{bn}中,b1=2λ,b3=a15+1. (Ⅰ)求數(shù)列{an}及{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{cn}的前n(n∈N*)項和為Tn , 且 ,求Tn .
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