Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的

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倍，P為側(cè)棱SD上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若PD：SP=1：3，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于SD在平面SBD上，證明AC⊥平面SBD，即AC⊥平面內(nèi)任何線段，即得AC⊥SD．
（2）取SD中點為N，因為PD：SP=1：3，則PN=PD，過N作PC的平行線與SC的交點即為E．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
即可得到平面BEN∥平面PAC，使得BE∥平面PAC，進而求得SE：EC的值．

解答：證明：（Ⅰ）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（Ⅱ）在棱SC上存在一點E，使BE∥平面PAC
取SD中點為N，因為PD：SP=1：3，則PN=PD，
過N作PC的平行線與SC的交點即為E．連BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．

點評：本題主要考查立體幾何中平面與平面平行的性質(zhì)以及線段垂直平面的性質(zhì)．