Question

（2012•洛陽一模）已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，對R上任意x滿足f（x+2）=f（x）+f（2），且f（1）=2，則f（2012）=（　�。�

A．2010

B．2012

C．4020

D．4024

Answer 1

分析：先利用條件f（x+2）=f（x）+f（2），求出f（2），然后利用等差數列的通項公式或累加法可求f（2012）．

解答：解：因為f（x+2）=f（x）+f（2），且函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
所以令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）+f（2），即f（1）=-f（1）+f（2），
所以f（2）=2f（1）=4，即f（x+2）=f（x）+4，所以f（x+2）-f（x）=4．
（方法1構造數列）
所以{f（x+2）}可以看做是以f（0）為首項，d=4為公差的等差數列．
因為y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0．
所以f（2012）為數列中的第1007項，所以f（2012）=f（0）+（1007-1）×4=1006×4=4024．
（方法2累加法）
由f（x+2）-f（x）=4，可得
f（2）-f（0）=4；
f（4）-f（2）=4；
…
f（2012）-f（2010）=4；
等式兩邊同時相加，得f（2012）-f（0）=1006×4=4024，
因為y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0．
所以f（2012）═4024．
故選D．

點評：本題考查了函數的概念和求值，本題的關鍵是利用條件得到函數f（x）的關系式f（x+2）-f（x）=4，然后可以利用等差數列的性質，或者利用累加法進行求解．本題出題巧妙，設計新穎，是個好題．