Question

已知z是復(fù)數(shù)，若z+2i為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且z（1-2i）為純虛數(shù)．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)（z+mi）²在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

專題：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z利用z+2i為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），且z（1-2i）為純虛數(shù)，即可求復(fù)數(shù)z；
（2）化簡復(fù)數(shù)（z+mi）²為a+bi的形式，通過復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限，列出表達式組，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)z=x+yi，（x，y∈R）．　　　　　　　　　     　　　　　　　　　　　　 　…（1分）
由z+2i=x+（y+2）i為實數(shù)，得y+2=0，即y=-2．　 　　　　　  　　　…（2分）
又z（1-2i）=x-4-2（1+x）i，…（3分）
由z（1-2i）為純虛數(shù)，得

x-4=0 2(1+x)≠0

，…（5分）
∴x=4，…（6分）
∴z=4-2i．　　　　　　  　　　　　          　  　　　　　　　 　　　…（7分）
（2）∵（z+mi）²=（-m²+4m+12）+8（m-2）i，…（9分）
根據(jù)條件，可知

12+4m-m2＞0 8(m-2)＜0

　 　  　　       　  　　      　　  …（10分）
解得-2＜m＜2，…（11分）
∴實數(shù)m的取值范圍是（-2，2）．　　　  　　          　　 　             …（12分）

點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，基本知識的考查．