Question

如圖：港口A北偏東30°方向的C處有一觀測站，港口正東方向的B處有一輪船，測得BC為31n mile，該輪船從B處沿正西方向航行20n mile后到D處，測得CD為21n mile．
（1）求cos∠BDC；
（2）問此時輪船離港口A還有多遠？

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB；
（2）求sin∠CDB，由三角形的內(nèi)角和定理可得sin∠ACD=sin（∠BDC-60°），再在△ACD中，由正弦定理知，

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，可求AD．

解答： 解：（1）由條件知∠A=60°，BC=31，BD=20，CD=21，
在△BCD中，由余弦定理，得：cos∠BDC=

202+212-312

2×21×20

=-

1

7

；
（2）由（1）知sin∠BDC=

4 3

7

，
∴sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°
=

4 3

7

×

1

2

-(-

1

7

)×

3

2

=

5 3

14

．
在△△ACD中，由正弦定理得：

CD

sinA

=

AD

sin∠ACD

，
∴AD=

CDsin∠ACD

sin∠A

=15 n mile．
答：此時輪船離港口還有15 n mile．

點評：本題主要考查了正弦定理、余弦定理、兩角差的正弦公式及三角形的內(nèi)角和定理在實際中的應(yīng)用，解決實際的問題的關(guān)鍵是要把題目中所提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)圖形中的長度（角度），然后根據(jù)相應(yīng)的公式來解決問題．