Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．
①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）；
②當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時，求點T的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：第（1）問中，由正三角形底邊與高的關(guān)系，a²=b²+c²及焦距2c=4建立方程組求得a²，b²；
第（2）問中，先設(shè)點的坐標(biāo)及直線PQ的方程，利用兩點間距離公式及弦長公式將

|TF|

|PQ|

表示出來，由

|TF|

|PQ|

取最小值時的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點T的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）依題意有

c=2 a= 3 b a2-b2=c2=4

解得

a2=6 b2=2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)T（-3，t），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為N（x₀，y₀），
①證明：由F（-2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my-2，則PQ的斜率kPQ=

1

m

．
由

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

⇒（m²+3）y²-4my-2=0，
所以

△=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)＞0 y1+y2= 4m m2+3 y1•y2= -2 m2+3

，
于是y0=

y1+y2

2

=

2m

m2+3

，從而x0=my0-2=

2m2

m2+3

-2=

-6

m2+3

，
即N(

-6

m2+3

，

2m

m2+3

)，則直線ON的斜率kON=-

m

3

，
又由PQ⊥TF知，直線TF的斜率kTF=

t-0

-3+2

=-

1

kPQ

=-

1

1 m

，得t=m．
從而kOT=

t

-3

=-

m

3

=kON，即k_OT=k_ON，
所以O(shè)，N，T三點共線，從而OT平分線段PQ，故得證．
②由兩點間距離公式得|TF|=

m2+1

，
由弦長公式得|PQ|=|y1-y2|•

m2+1

=

(y1+y2)2-4y1y2

•

m2+1

=

24(m2+1)

m2+3

•

m2+1

，
所以

|TF|

|PQ|

=

m2+1

24(m2+1) m2+3 • m2+1

=

m2+3

24(m2+1)

，
令x=

m2+1

(x≥1)，則

|TF|

|PQ|

=

x2+2

2 6 x

=

1

2 6

(x+

2

x

)≥

3

3

（當(dāng)且僅當(dāng)x²=2時，取“=”號），
所以當(dāng)

|TF|

|PQ|

最小時，由x²=2=m²+1，得m=1或m=-1，此時點T的坐標(biāo)為（-3，1）或（-3，-1）．

點評：本題屬相交弦問題，應(yīng)注意考慮這幾個方面：
1、設(shè)交點坐標(biāo)，設(shè)直線方程；
2、聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y或x，得到一個關(guān)于x或y一元二次方程，利用韋達(dá)定理；
3、利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性探求最值問題．