Question

【題目】設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四個(gè)實(shí)數(shù)解滿足x1＜x2＜x3＜x4 ．
（1）求a的取值范圍；
（2）證明：f（x4）＞ +8 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=0，則f（x）=x2，顯然直線y=ax+a與f（x）不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

若a＜0，作出f（x）=|x2﹣2ax|的函數(shù)圖象，則直線y=ax+a與f（x）的圖象不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

若a＞0，作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）=﹣x2+2ax，

設(shè)直線y=k（x+1）與y=f（x）在（0，2a）上的函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)為（x0，y0），

則 ，解得k=2a+2﹣2 ，

∴a＜2a+2﹣2 ，解得a＞4

（2）解：聯(lián)立方程組 ，得x2﹣3ax﹣a=0，解得x= ，

∴x4= ．

∴f（x4）=ax4+a= + +a，

令g（a）= + +a，則g（a）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，

∴g（a）＞g（4）=28+8 ＞ +8 ．

∴f（x4）＞ +8

【解析】（1）根據(jù)f（x）的圖象與直線y=ax+a有4個(gè)交點(diǎn)可知a＞0，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）的切線斜率，列出不等式得出a的范圍；（2）求方程組，用a表示出x4，得出f（x4）關(guān)于a的函數(shù)，利用單調(diào)性得出結(jié)論．