Question

設函數(shù)f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+acos²（

π

2

+x）的一個零點是x=

π

12

．
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先對三角函數(shù)關(guān)系是進行恒等變換，進一步利用函數(shù)的零點求出a的值．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進一步對三角函數(shù)關(guān)系式進行恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=cosx（2

3

sinx-cosx）+acos²（

π

2

+x）
=2

3

sinxcosx-cos²x+asin²x
=

3

sin2x-

1

2

(cos2x+1)+

1

2

a(1-cosx)
由于x=

π

12

是函數(shù)的零點，
所以：f（

π

12

）=

3

2

-

1

2

(

3

2

+1)+

1

2

a(1-

3

2

)
=

1

2

a-

1

2

=0
解得：a=1
則：f（x）=2

3

sinxcosx-cos²x+asin²x=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
所以：函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π
（2）令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-

π

6

+kπ，kπ+

π

3

]（k∈Z）

點評：本題考查的知識要點：零點在三角函數(shù)中的應用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，整體思想的應用，正弦型函數(shù)單調(diào)性的應用．屬于基礎題型．