Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若對(duì)任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

Answer 1

【答案】解：（1）a=1時(shí)，f（x）=lnx+，f′（x）=，
∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）的最小值為1；
（2）對(duì)任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，
∴h′（x）=﹣
0＜a≤3時(shí)，△≤0，則h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；
a＞3時(shí)，x2﹣（a﹣1）x+1=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2 ，
∴x∈（x2 ， +∞）時(shí)，x2﹣（a﹣1）x+1＞0，則h′（x）＞0，即h（x）在（x2 ， +∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴存在x∈（x2 ， +∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合題意，
綜上，0＜a≤3
【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（2）對(duì)任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，對(duì)a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.