Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為0時，|AB|+|CD|=3

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四點構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率，以及，|AB|+|CD|=3

2

．求出a、b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，直接求出面積．
②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式，求出AB，CD即可求解面積的表達(dá)式，通過基本不等式求出面積的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，e=

c

a

=

2

2

，則a=

2

c，b=c，
∴AB+CD=2a+2

b2

a

=2

2

c+

2

c=3

2

，
所以c=1．所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．

（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，
由題意知S四邊形=

1

2

AB•CD=

1

2

×2

2

×

2

=2；     
②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-1)．
將直線AB的方程代入橢圓方程中，并整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
所以AB=

k2+1

|x1-x2|=

k2+1

•

2 2 k2+1

1+2k2

=

2 2 (k2+1)

1+2k2

．   
同理，CD=

2 2 ( 1 k2 +1)

1+ 2 k2

=

2 2 (k2+1)

k2+2

． 
所以S四邊形=

1

2

•AB•CD=

1

2

•

2 2 (k2+1)

1+2k2

•

2 2 (k2+1)

k2+2

=

4(k2+1)2

2k4+2+5k2

=

4(k+ 1 k )2

2(k+ 1 k )2+1

=2-

2

2(k+ 1 k )2+1

，
∵2(k+

1

k

)2+1≥2(2

k• 1 k

)2+1=9當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取等號   
∴S四邊形∈[

16

9

，2)
綜合①與②可知，S四邊形∈[

16

9

，2]

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，弦長公式的求法以及基本不等式的應(yīng)用，是綜合性比較強(qiáng)的題目．