Question

已知函數(shù)R）.
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；
（2）在（1）條件下，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（3）當(dāng)，且時，證明：

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

解析試題分析：（1）欲求a的值，根據(jù)在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可得．
（2）先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，最后求出極值即可．
（3）由（2）知，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)＝，在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且f(1)＝＝1，從而證得結(jié)論．.
試題解析：解：（1）函數(shù)
所以又曲線處的切線與直線平行，所以             4分；
（2）令
當(dāng)x變化時，的變化情況如下表：

	+	0	—
		極大值

由表可知：的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
所以處取得極大值，       8分；
（3）當(dāng)由于
只需證明
令
因為，所以上單調(diào)遞增，
當(dāng)即成立。
故當(dāng)時，有          12分；
考點：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．