【題目】已知函數(shù)， ，其中是自然常數(shù).

(1)判斷函數(shù)在內(nèi)零點的個數(shù)，并說明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，試求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)， ，得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)零點存在定理得到函數(shù)存在一個零點；（2）不等式等價于，即，對兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)研究單調(diào)性，求得最值得到取得最大值， 取得最小值，故只需要,解出即可.

解析：

(1)函數(shù)在上的零點的個數(shù)為1，理由如下：

因為，所以，

因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

因為， ，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得函數(shù)在上存在1個零點.

(2)因為不等式等價于，

所以， ，使得不等式成立，等價于

，即，

當時， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以當時， 取得最小值，又，

當時， ， ， ，所以，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

因此，當時， 取得最大值，所以，所以，

所以實數(shù)的取值范圍為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： 的焦點為，圓： ，過作垂直于軸的直線交拋物線于、兩點，且的面積為.

（1）求拋物線的方程和圓的方程；

（2）若直線、均過坐標原點，且互相垂直， 交拋物線于，交圓于， 交拋物線于，交圓于，求與的面積比的最小值.

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【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的圖象與軸交于兩點，起，求的取值范圍；

（3）令， ，證明： .

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【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]

在平面直角坐標系中，已知直線： （為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設(shè)點的極坐標為，直線與曲線的交點為， ，求的值.

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【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若，當時，試比較與2的大小；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍，并證明：

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心為，半徑為1的圓．

（1）求曲線， 的直角坐標方程；

（2）設(shè)為曲線上的點， 為曲線上的點，求的取值范圍．

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【題目】已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點，過的平面分別交，于點，，且平面.

（1）證明：；

（2）當為的中點，，與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為

A. 11π B. C. D.

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【題目】[2018·石家莊一檢]已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的圖像在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．

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