【題目】如圖所示,在三棱錐SABC中,,O為BC的中點.
(1)求證:面ABC;
(2)求異面直線與AB所成角的余弦值;
(3)在線段上是否存在一點,使二面角的平面角的余弦值為;若存在,求的值;若不存在,試說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)存在,BE:BA=1:2,理由見解析
【解析】
(1)由題意及所給的邊長設,則SO=,AO=,SA=a,得到SO⊥OA,及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直;
(2)由題意及圖形特點以O為原點,以OA,OB,OS所在射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標系.寫出點的坐標,利用異面直線所成角的定義求出夾角;
(3)由題意屬于開放性的題目,利用假設存在,利用條件對于坐標設出未知的變量,利用向量的知識解出變量的大小,進而求出二面角的大。
(1)在三棱錐SABC中,,O為BC的中點,
連接SO,顯然SO⊥BC,設SB=a,則SA=a,SO=,AO=,
∴SO2+OA2=SA2,∴SO⊥OA,又∴BC∩OA=0,∴SO⊥平面ABC.
(2)以O為原點,以OA,OB,OS所在射線為x軸,y軸,z軸正半軸建立空間直角坐標系.
則有O(0,0,0),,,,,
∴,,∴,
∴異面直線SC與AB所成角的余弦值為.
(3)假設存在E滿足條件,設(),則,
所以.
設面SCE的法向量為=(x,y,z),
由,得,.
因為OA⊥面ABC,所以可取向量=(1,0,0)為面SBC的法向量.
所以,,解得,或(舍).
所以,當BE:BA=1:2時,二面角B﹣SC﹣E的余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】近年來,隨著網絡的普及,數碼產品早已走進千家萬戶的生活,為了節(jié)約資源,促進資源循環(huán)利用,折舊產品回收行業(yè)得到迅猛發(fā)展,電腦使用時間越長,回收價值越低,某二手電腦交易市場對2018年回收的折舊電腦交易前使用的時間進行了統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖,在如圖對時間使用的分組中,將使用時間落入各組的頻率視為概率.
(1)若在該市場隨機選取3個2018年成交的二手電腦,求至少有2個使用時間在上的概率;
(2)根據電腦交易市場往年的數據,得到如圖所示的散點圖,其中(單位:年)表示折舊電腦的使用時間,(單位:百元)表示相應的折舊電腦的平均交易價格.
(。┯缮Ⅻc圖判斷,可采用作為該交易市場折舊電腦平均交易價格與使用年限的回歸方程,若,,選用如下參考數據,求關于的回歸方程.
5.5 | 8.5 | 1.9 | 301.4 | 79.75 | 385 |
(ⅱ)根據回歸方程和相關數據,并用各時間組的區(qū)間中點值代表該組的值,估算該交易市場收購1000臺折舊電腦所需的費用
附:參考公式:對于一組數據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.參考數據:,,,,.
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【題目】已知拋物線,直線與E交于A、B兩點,且,其中O為原點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)點C坐標為,記直線CA、CB的斜率分別為,證明: 為定值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在平面直角坐標系中,以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,射線交曲線于點,傾斜角為的直線過線段的中點且與曲線交于、兩點.
(1)求曲線的直角坐標方程及直線的參數方程;
(2)當直線傾斜角為何值時,取最小值,并求出最小值.
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【題目】從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中,每摸出2個球為一次試驗,直到摸出的球中有紅球(不放回),則試驗結束.
(1)求第一次試驗恰摸到一個紅球和一個白球概率;
(2)記試驗次數為,求的分布列及數學期望.
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,離心率為,為橢圓的左頂點,,為橢圓上異于的兩個動點,直線,與直線分別交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若與的面積之比為,求的坐標;
(3)設直線與軸交于點,若,,三點共線,判斷與的大小關系,并說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了保障全國第四次經濟普查順利進行,國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇, 從中部選擇河北. 湖北,從西部選擇寧夏, 從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū),然后再逐級確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū).在普查過程中首先要進行宣傳培訓,然后確定對象,最后入戶登記. 由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點經驗. 在某普查小區(qū),共有 50 家企事業(yè)單位,150 家個體經營戶,普查情況如下表所示:
普查對象類別 | 順利 | 不順利 | 合計 |
企事業(yè)單位 | 40 | 10 | 50 |
個體經營戶 | 100 | 50 | 150 |
合計 | 140 | 60 | 200 |
(1)寫出選擇 5 個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法;
(2)根據列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”;
(3)以頻率作為概率, 某普查小組從該小區(qū)隨機選擇 1 家企事業(yè)單位,3 家個體經營戶作為普查對象,入戶登記順利的對象數記為, 寫出的分布列,并求的期望值.
附:
0.10 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】方程的曲線即為函數的圖象,對于函數,有如下結論:①在上單調遞減;②函數存在零點;③函數的值域是R;④若函數和的圖象關于原點對稱,則函數的圖象就是確定的曲線
其中所有正確的命題序號是________.
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