Question

【題目】已知函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意，，都有成立，且時(shí)，．

（1）求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；

（3）若函數(shù)在上遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）在上是增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）令可求得或，根據(jù)時(shí)，可排除，設(shè)，則，那么，再由可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，∴，可證；（3）若函數(shù)在上遞減，即時(shí)，，根據(jù)單調(diào)性，，進(jìn)而.

試題解析：（1）∵，

∴，或．

若，則，

與已知條件時(shí)，相矛盾，

所以．

設(shè)，則，那么．

又，

∴，

∵，∴，從而．

（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，則，∴，

，

∵由（1）可知對(duì)任意，，∴，

又，∴，

即，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

（3）∵由（2）知函數(shù)在上是增函數(shù)，

∴函數(shù)在上也是增函數(shù)，若函數(shù)在上遞減，

則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，

∵時(shí)，，

∴．