Question

（本小題滿分12分）如圖，已知PA?⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且AC=BC=PA，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點.

（1）求證：EF//平面ABC；

（2）求證：EF?平面PAC；

（3）求三棱錐B—PAC的體積.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全，利用棱錐的體積公式求體積；（2）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質(zhì)定理，三是利用面面平行的性質(zhì)；（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.（4）在求三棱柱體積時，選擇適當(dāng)?shù)牡鬃鳛榈酌�，這樣體積容易計算.

試題解析：證明：（1）在?PBC中，E是PC的中點，F(xiàn)是PB的中點，所以EF//BC. （2分）

又BC?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF//平面ABC. （4分）

（2）因為PA?平面ABC，BC?平面ABC，所以PA?BC. （5分）

因為AB是⊙O的直徑，所以BC?AC. （6分）

又PA∩AC=A，所以BC?平面PAC. （7分）

由（1）知EF//BC，所以EF?平面PAC. （8分）

（3）【解析】
在中，AB=2，AC=BC，所以. （9分）

所以.

因為PA?平面ABC，AC?平面ABC，所以PA?AC.

所以. （10分）

由（2）知BC?平面PAC，所以. （12分）

考點：1、直線與平面平行的判定；2、直線與平面垂直的判定；3、三棱柱的體積.