Question

已知正數(shù)x、y、z滿(mǎn)足x²+y²+z²=1，則S=

1+z

2xyz

的最小值為（　�。�

• A、3
• B、

  3( 3 +1)

  2

• C、4
• D、2（

  2

  +1）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,二維形式的柯西不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得1-z²=x²+y²≥2xy，從而可得

1+z

2xy

≥

1

1-z

，由基本不等式和不等式的性質(zhì)可得

1+z

2xyz

≥

1

(1-z)z

≥4

解答： 解：由題意可得0＜z＜1，0＜1-z＜1，
∴z（1-z）≤（

z+1-z

2

）²=

1

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)z=（1-z）即z=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
又∵x²+y²+z²=1，∴1-z²=x²+y²≥2xy，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，∴

1-z2

2xy

≥1，
∴

(1+z)(1-z)

2xy

≥1，∴

1+z

2xy

≥

1

1-z

，
∴

1+z

2xyz

≥

1

(1-z)z

≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=

6

4

且z=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴S=

1+z

2xyz

的最小值為4
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，涉及不等式的性質(zhì)和配湊的方法，屬中檔題．