直線l：3x+4y-12=0與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1相交于A、B兩點，點P是橢圓上的一點，若三角形PAB的面積為12，則滿足條件的點P的個數(shù)為（　�。�
分析：由題意可得AB=5，則由三角形PAB的面積為12可得AB的距離 h=
24
5
，作與AB平行的直線l，使l與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1相切，設(shè)直線l的方程為
x
4
+
y
3
=k，把l的方程代入橢圓方程化簡，由判別式等于0 解得 k值，從而得到直線l的方程，求出直線l與AB間的距離，將此距離和h作比較，從而得出結(jié)論．
解答：解：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=
1
2
AB•h，可得P到AB的距離 h=
24
5
．
作與AB平行的直線l，使l與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1相切，設(shè)直線l的方程為
x
4
+
y
3
=k，
把l的方程代入橢圓方程化簡可得 x2-4kx+8k2-8=0，
由△=16k2-32（k2-1）=0
∴k=
2
，或 k=-
2
，
故直線l的方程為
x
4
+
y
3
=
2
，或
x
4
+
y
3
= -
2
．
因為
x
4
+
y
3
=
2
 與AB的距離為
|
2
-1|
1
16
+
1
9
=
12(
2
-1)
5
＜
24
5
，
x
4
+
y
3
= -
2
與AB的距離為
|-
2
-1|
1
16
+
1
9
=
12(
2
+1)
5
＞
24
5
．故這樣的點P共有 2個，
故選 B．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩平行線間的距離公式，得到與AB平行的且與橢圓相切的切線l 的方程的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是直線l：3x-4y+11=0上的動點，PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（　�。�
A、
2
B、2
2
C、
3
D、2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l與3x+4y-7=0的傾斜角相等，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于24，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P是圓（x+2）2+（y-1）2=4上的動點，則點P到直線l：3x-4y-5=0的距離的最大值是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求分別滿足下列條件的直線方程．
（1）經(jīng)過直線2x+y+2=0和3x+y+1=0的交點且與直線2x+3y+5=0平行；
（2）與直線l：3x+4y-12=0垂直且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為6．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）選做題
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，自⊙O外一點P作⊙O的切線PC和割線PBA，點C為切點，割線PBA交⊙O于A，B兩點，點O在AB上．作CD⊥AB，垂足為點D．
求證：
PC
PA
=
BD
DC
．
B．選修4-2：矩陣與變換
設(shè)a，b∈R，若矩陣A=
a0
-1b
把直線l：y=2x-4變換為直線l′：y=x-12，求a，b的值．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
求橢圓C：
x2
16
+
y2
9
=1上的點P到直線l：3x+4y+18=0的距離的最小值．
D．選修4-5不等式選講
已知非負(fù)實數(shù)x，y，z滿足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
，求x+y+z的最大值．

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