Question

已知P是直線l：3x-4y+11=0上的動點，PA、PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是（　　）

• A、

  2

• B、2

  2

• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1，則可知直線與圓相離．S四邊形_PACB=S_△PAC+S_△PBC，當(dāng)|PC|取最小值時，|PA|=|PB|取最小值，即S_△PAC=S_△PBC取最小值，由此能夠求出四邊形PACB面積的最小值．

解答：解：把圓的方程化為標準方程為（x-1）²+（y-1）²=1，則可知直線與圓相離．
如圖，S四邊形_PACB=S_△PAC+S_△PBC
而S_△PAC=

1

2

|PA|•|CA|=

1

2

|PA|，
S_△PBC=

1

2

|PB|•|CB|=

1

2

|PB|，
又|PA|=

|PC|2-1

，|PB|=

|PC|2-1

，
∴當(dāng)|PC|取最小值時，|PA|=|PB|取最小值，
即S_△PAC=S_△PBC取最小值，此時，CP⊥l，|CP|=

|3×1-4×1+11|

32+42

=2，
則S_△PAC=S_△PBC=

1

2

×

22-1

=

3

2

，即四邊形PACB面積的最小值是

3

．
故選C．

點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，在解答過程中要合理地運用數(shù)形結(jié)合思想．