Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+（x-a）²-

a

2

，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的極值點．
（3）設(shè)x=m為函數(shù)f（x）的極小值點，f（x）的圖象與軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂＜m，AB中點為C（x₀，0），比較f′（x₀）與0的大小．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)f（x）在[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，f′（x）≥0恒成立，得到實數(shù)a的取值范圍；
（2）令h（x）=2x²-2ax+1，分a≤0時，當(dāng)a＞0時，△≤0和△＞0，兩大類三小類情況，分析導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間上的符號，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)f（x）的極值點．
（3）由x=m為函數(shù)f（x）的極小值點，0＜x₁＜x₂＜m，AB中點為C（x₀，0），可得f′（x₀）=

2

x1+x2

-

1

x2-x1

[

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

-ln

x2

x1

]，令t=

x2

x1

∈（0，1），且g（t）=

2t-2

t+1

-lnt，利用導(dǎo)數(shù)法可得g（t）在（0，1）上遞減，進(jìn)而得到f′（x₀）＜0．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+（x-a）²-

a

2

，
∴f′（x）=

1

x

+2（x-a）=

2x2-2ax+1

x

，
依題意得，在區(qū)間[

1

2

，2]上不等式2x²-2ax+1≥0恒成立．
又∵x＞0，所以2a≤（2x+

1

x

），
∴2a≤2

2

，
即a≤

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，

2

]．
（2）由（1）知：f′（x）=

2x2-2ax+1

x

，
令h（x）=2x²-2ax+1，
①顯然，當(dāng)a≤0時，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，這時f′（x）＞0恒成立，
此時，函數(shù)f（x）沒有極值點；               …（6分）
②當(dāng)a＞0時，
（�。┊�(dāng)△≤0，即0＜a≤

2

時，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，這時f′（x）＞0恒成立，
此時，函數(shù)f（x）沒有極值點；
（ⅱ）當(dāng)△＞0，即a＞

2

時，
易知，當(dāng)

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

時，h（x）＜0，這時f′（x）＜0；
當(dāng)0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時，h（x）＞0，這時f′（x）＞0；
所以，當(dāng)a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點；x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點．
綜上，當(dāng)a≤

2

時，函數(shù)f（x）沒有極值點；
當(dāng)當(dāng)a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極大值點；x=

a+ a2-2

2

是函數(shù)f（x）的極小值點．…（9分）
（3）由已知得f（x₁）=lnx₁+（x₁-a）²-

a

2

=0，…①
f（x₂）=lnx₂+（x₂-a）²-

a

2

=0，…②
兩式相減，得：ln

x1

x2

+（x₁-x₂）（x₁+x₂-2a），…③，
由f′（x）=

1

x

+2（x-a），得f′（x₀）=

1

x0

+2（x₀-a），…④
將③代入④得：
f′（x₀）=

1

x0

+2（x₀-a）=

2

x1+x2

+（x₁+x₂-2a）=

2

x1+x2

-

1

x2-x1

[

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

-ln

x2

x1

]，
令t=

x2

x1

∈（0，1），且g（t）=

2t-2

t+1

-lnt，
∵g′（t）=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0，
∴g（t）在（0，1）上遞減，
∴g（t）＞g（1）=0，
∵x₁＜x₂，
∴f′（x₀）＜0

點評：本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強，運算量大，屬于難題．